Fracción generatriz

 

Al encontrar la fracción generatriz de un número decimal, nos podemos topar con tres casos. En cada uno de ellos, vamos a deducir un método sencillo para la conversión.

 

Caso I: Decimal exacto

Un decimal exacto es aquel número que tiene una cantidad finita de cifras decimales. Por ejemplo, se da el número 0,ab. Si decimos que f es su fracción generatriz, tenemos:

 

f = 0,ab

 

Para eliminar los decimales del número, vamos a multiplicar ambos lados de la igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras decimales tiene la fracción; en este caso, por 100.

 

100 f = ab

 

Luego, .

 

 

Por lo tanto, para hallar la fracción generatriz de un decimal exacto, basta con copiar en el numerador todas las cifras decimales del número; y en el denominador, la unidad seguida por tantos ceros como cifras decimales tenga.

 

Ejemplos:

Nota importante: Recuerde que siempre es necesario simplificar al máximo la fracción resultante.

 

     

 

Caso II: Decimal periódico puro

Un decimal periódico puro es un número que tiene infinitas cifras decimales periódicas; se puede encontrar un patrón o secuencia de repetición para toda la parte decimal. Por ejemplo sea el número 0,abcabcabc… El periodo (patrón de repetición) del número es abc. Si decimos que f es su fracción generatriz, tenemos:

 

f = 0,abcabcabc    ------------- (1)

 

Esta vez, vamos a multiplicar la igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tiene el periodo; en este caso, por 1 000.

 

1 000 f = abc,abcabcabc    ------------- (2)

 

Restamos la igualdad (1) de la igualdad (2), resulta:

 

999 f = abc

 

Luego,

 


 

Por lo tanto, para hallar la fracción generatriz de un número decimal periódico puro, basta con copiar en el numerador un periodo; y en el denominador, tantos nueves como cifras hay en el periodo.

 

Ejemplos:

Nota importante: Fíjese bien. En el último ejemplo no hay puntos suspensivos y un sombrerito que indiquen que el decimal es periódico. Se trata de un decimal exacto.

 

 

 

Caso III: Decimal periódico mixto

Un decimal periódico mixto es un número que tiene infinitas cifras decimales periódicas; pero justo después de la coma, hay un número finito de cifras que no se repiten. Por ejemplo, se da el número 0,abcdedede… La parte no periódica del número es abc y la parte periódica es de. Si decimos que f es su fracción generatriz, tenemos:

 

f = 0,abcdedede    ------------- (1)

 

Multiplicamos esta igualdad por la unidad seguida de tantos ceros como cifras no periódicas. En este caso, por 1 000.

 

1 000 f = abc,dedede    ------------- (2)

 

Ahora multiplicamos la igualdad (1) por la unidad seguida de tantos ceros como cifras tengan el periodo y la parte no periódica. Para este caso, 100 000.

 

100 000 f = abcde,dedede    ------------- (3)

 

Se resta la igualdad (2) de la igualdad (3), resulta:

 

99 000 f = abcdeabc

 

Luego,

 

Por lo tanto, el numerador y denominador de la fracción generatriz de un número decimal periódico mixto son como sigue:

·      Numerador: Se coloca la parte no periódica seguida de un periodo y se le resta la parte no periódica.

·      Denominador: Se colocan tantos nueves como números en el periodo, seguidos de tantos ceros como cifras en la parte no periódica.

 

 

Ejemplos:

IMU2007_sem1-1-Numeros reales1.ppt